🧁 La situación
Mateo y Daniela se han aficionado a elaborar cupcakes. Esta tarde van a preparar algunos de fresa, de limón, de chocolate y de arándanos, en diferentes cantidades, a partir de recetas para 12 unidades que han encontrado en un blog de repostería.
¡Ayúdalos a calcular la cantidad de ingredientes que necesitan en cada caso y… ¡a chuparse los dedos!
🎯 ¿Qué vamos a aprender?
📐 Razón
La razón entre dos cantidades es el cociente de ambas. Nos dice cuántas veces una cantidad contiene a otra.
⚖️ Proporción
Una proporción es una igualdad entre dos razones. Es la base para escalar recetas y comparar cantidades.
🔢 Regla de Tres
La regla de tres nos permite calcular un valor desconocido cuando conocemos tres valores relacionados.
🧮 Proporcionalidad
Distinguiremos entre proporcionalidad directa e inversa con ejemplos de la vida cotidiana.
En este itinerario usarás las recetas de Mateo y Daniela para practicar todos estos conceptos. Cada sección tiene ejemplos y actividades interactivas para que compruebes tu progreso.
🍰 Las recetas (para 12 cupcakes)
| Sabor | Harina (g) | Azúcar (g) | Mantequilla (g) | Huevos | Ingrediente especial |
|---|---|---|---|---|---|
| 🍓 Fresa | 200 | 150 | 100 | 2 | 100 g mermelada fresa |
| 🍋 Limón | 200 | 180 | 100 | 3 | Zumo de 2 limones |
| 🍫 Chocolate | 180 | 160 | 120 | 2 | 80 g cacao en polvo |
| 🫐 Arándanos | 200 | 140 | 90 | 2 | 150 g arándanos frescos |
📐 La Razón
¿Qué es una razón?
La razón entre dos cantidades a y b es el cociente entre ambas. Se escribe de dos formas equivalentes:
- Antecedente (a): el primer término de la razón.
- Consecuente (b): el segundo término de la razón.
🧁 Ejemplo con cupcakes de fresa
La receta de cupcakes de fresa lleva 200 g de harina y 150 g de azúcar para 12 unidades.
Razón = Harina ÷ Azúcar = 200 ÷ 150 = 4/3 ≈ 1,33
Esto significa que por cada 3 gramos de azúcar, se usan 4 gramos de harina.
Razón entre cupcakes
Si hacemos 6 cupcakes de chocolate y 18 de limón, la razón es:
Por cada cupcake de chocolate hay 3 de limón.
Razón de ingredientes
En la receta de chocolate: 180 g harina y 80 g cacao.
Por cada gramo de cacao hay 2,25 g de harina.
🔍 Tipos de razón
| Tipo | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Razón entera | Resultado es número natural | 20:4 = 5 |
| Razón fraccionaria | Resultado es fracción | 3:4 = 3/4 |
| Razón decimal | Resultado es decimal | 200:150 = 1,33… |
| Razón igual a 1 | Las cantidades son iguales | 12:12 = 1 |
⚖️ La Proporción
¿Qué es una proporción?
Una proporción es la igualdad de dos razones. Si a:b = c:d, entonces:
Los términos a y d son los extremos; los términos b y c son los medios.
🧁 Ejemplo: escalar la receta
La receta de cupcakes de limón usa 200 g de harina para 12 cupcakes. ¿Cuánta harina necesitamos para 18 cupcakes?
12 cupcakes → 200 g harina
18 cupcakes → x g harina
12/200 = 18/x
12 · x = 200 · 18 = 3600
x = 3600 ÷ 12 = 300 g
Para 18 cupcakes de limón necesitamos 300 g de harina.
🔄 Proporcionalidad directa e inversa
📈 Directa
Cuando una cantidad aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción.
✅ Más cupcakes → más ingredientes
Si doblas los cupcakes, doblas los ingredientes.
📉 Inversa
Cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.
✅ Más personas hornean → menos tiempo tardan
Si doblas las personas, tardas la mitad.
Truco para identificar el tipo: En proporcionalidad directa, la razón entre pares de valores correspondientes es siempre la misma (constante k). En proporcionalidad inversa, el producto de cada par es siempre el mismo.
🔢 Regla de Tres
¿Qué es la regla de tres?
La regla de tres es un procedimiento para encontrar un valor desconocido en una proporción cuando se conocen los otros tres. Distinguimos dos tipos:
➕ Directa
Si a corresponde a b, ¿cuánto corresponde a c?
12 cupcakes → 100 g mantequilla
20 cupcakes → x
x = (20 × 100) / 12 = 166,7 g
➖ Inversa
Si a corresponde a b, ¿cuánto corresponde a c? (relación inversa)
3 personas → 60 min horneando
5 personas → x
x = (3 × 60) / 5 = 36 min
📊 Tabla: Escalar la receta de cupcakes de fresa
La receta original es para 12 cupcakes. Aplicando regla de tres directa:
| Cupcakes | Harina (g) | Azúcar (g) | Mantequilla (g) | Huevos |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 100 | 75 | 50 | 1 |
| 12 (original) | 200 | 150 | 100 | 2 |
| 18 | 300 | 225 | 150 | 3 |
| 24 | 400 | 300 | 200 | 4 |
| 36 | 600 | 450 | 300 | 6 |
✏️ Actividades Interactivas
Calculando razones en la receta de chocolate 🍫
La receta de cupcakes de chocolate lleva 180 g de harina y 120 g de mantequilla para 12 unidades.
Proporción: ¿cuántos cupcakes? 🍋
Para hacer cupcakes de limón sabemos que 3 huevos dan para 12 cupcakes. ¿Cuántos cupcakes podemos hacer con 5 huevos?
Regla de tres directa: ingredientes 🫐
La receta de arándanos lleva 150 g de arándanos para 12 cupcakes. Mateo quiere hacer 30 cupcakes. ¿Cuántos gramos de arándanos necesita?
Identifica el tipo de proporcionalidad 🤔
Daniela observa que cuantas más bandejas mete al horno a la vez, más tiempo tarda en calentarse y cocinarse todo. ¿Qué tipo de proporcionalidad es?
Regla de tres inversa: tiempo de horneado ⏱️
Con 1 horno, hornear todos los cupcakes tarda 45 minutos. Si usaran 3 hornos iguales a la vez, ¿cuánto tardarían?
Reto final: ¡Planifica el pedido! 🏆
En la clase de Mateo y Daniela hay 28 alumnos. Quieren que cada uno tome 3 cupcakes de fresa. La receta es para 12. ¿Cuántos gramos de azúcar necesitan en total?
(Pista: primero calcula cuántos cupcakes en total, luego aplica regla de tres con el azúcar)
🏕️ Itinerario Campo Base
🎓 Recapitulación general
Has trabajado todos los conceptos del itinerario. Aquí tienes un resumen de todo lo aprendido sobre razón y proporción aplicado al contexto de los cupcakes de Mateo y Daniela.
📋 Mapa de conceptos
| Concepto | Definición clave | Fórmula |
|---|---|---|
| Razón | Cociente entre dos cantidades | a ÷ b |
| Proporción | Igualdad entre dos razones | a/b = c/d |
| Propiedad fundamental | Producto extremos = medios | a·d = b·c |
| Regla de tres directa | Más de uno → más del otro | x = (c·b)/a |
| Regla de tres inversa | Más de uno → menos del otro | x = (a·b)/c |
✅ Autoevaluación: ¿Qué sé hacer?
- ✅ Calcular la razón entre dos ingredientes de una receta
- ✅ Identificar si dos razones forman una proporción
- ✅ Escalar una receta usando regla de tres directa
- ✅ Resolver problemas de proporcionalidad inversa
- ✅ Distinguir proporcionalidad directa e inversa
- ✅ Aplicar la propiedad fundamental de las proporciones
🌟 Conexión con la vida real
- Recetas de cocina
- Mezclas y soluciones
- Mapas y planos (escala)
- Fotografía y diseño
- Economía y porcentajes
📚 Próximos pasos
- Porcentajes y tanto por ciento
- Interés simple y compuesto
- Escalas en mapas
- Semejanza de figuras
- Funciones de proporcionalidad
✅ Soluciones de las Actividades
Aquí encontrarás las soluciones completas con los pasos detallados de cada actividad. ¡Intenta resolverlos antes de consultar!
Identificamos los datos: harina = 180 g, mantequilla = 120 g
Calculamos la razón: 180 ÷ 120 = 1,5
Datos: 3 huevos → 12 cupcakes; incógnita: 5 huevos → x cupcakes
Planteamos la proporción (directa): 3/12 = 5/x
Propiedad fundamental: 3 · x = 12 · 5 = 60 → x = 60 ÷ 3 = 20
Datos: 12 cupcakes → 150 g arándanos; queremos: 30 cupcakes → x g
Regla de tres directa: x = (30 × 150) / 12
x = 4500 / 12 = 375 g
A más bandejas en el horno, más tiempo de calentamiento y cocción.
Cuando ambas magnitudes aumentan a la vez, la relación es proporcionalidad directa.
Datos: 1 horno → 45 min; queremos: 3 hornos → x min
Relación inversa (más hornos = menos tiempo). Regla de tres inversa: x = (1 × 45) / 3
x = 45 / 3 = 15 minutos
Total de cupcakes: 28 alumnos × 3 = 84 cupcakes
Receta base: 12 cupcakes → 150 g azúcar
Regla de tres directa: x = (84 × 150) / 12
x = 12.600 / 12 = 1.050 g de azúcar